Логическое следствие

Автор: | 06.01.2018

Формула X алгебры высказываний называется логическим следствием формул X1, X2, ..., Xn, если импликация X1ÙX2 Ù...Ù Xn ® X является тавтологией. В этом случае говорят, что из X1, X2, ..., Xn следует X и этот факт записывают в виде Логическое следствие .

Рассуждения называются правильными, если из конъюнкции посылок следует заключение. Для определения правильности рассуждений по схеме Логическое следствие требуется установить тождественную истинность формулы

X1, X2, ..., Xn ® X.

Распространенными схемами правильных рассуждений являются следующие:

Логическое следствие – условно-категорический силлогизм;

Логическое следствие – условно-категорический силлогизм;

Логическое следствие – гипотетический силлогизм.

Проверка правильности рассуждений или проверка того, что данная формула X является логическим следствием формул X1, X2, ..., Xn осуществляется по следующему алгоритму.

Шаг 1. Образовать конъюнкцию посылок X1, X2, …, Xn.

Шаг 2. Составить импликацию X1 Ù X2 Ù...Ù Xn ® X.

Шаг 3. Полученную формулу исследовать на тождественную истинность: если она является тождественно истинной, то X является логическим следствием формул X1, X2, ..., Xn, иначе – не является.

Пример. Если два числа равны, то, как известно, их модули равны. Данные числа не равны. Можно ли из этого заключить, что их модули не равны?

Рассмотрим следующие элементарные высказывания: X= «Два числа равны», Y= «Модули чисел равны». Тогда высказыванию «Если два числа равны, то, как известно, их модули равны» соответствует формула X®Y, высказыванию «Данные числа не равны» – Логическое следствие , высказыванию «Модули чисел не равны» – Логическое следствие . Заметим, что вопрос задачи сводится к проверке правильности рассуждений, то есть является ли Логическое следствие логическим следствием посылок Логическое следствие и X ® Y: Логическое следствие .

Составив таблицу истинности формулы (X®Y)Ù Логическое следствие ®` Логическое следствие , можно увидеть, что она не является тождественно истинной, следовательно, рассуждения не являются правильными, и утверждение «Модули чисел не равны» не верно.

С помощью СКНФ можно решить более общую задачу построения всех логических следствий из данных посылок.

Алгоритм определения всех логических

следствий из данных посылок

Шаг 1. Образовать конъюнкцию всех посылок X1, X2,..., Xn.

Шаг 2. Полученную конъюнкцию привести к СКНФ.

Шаг 3. Множество всех формул, равносильных следствиям из данных посылок, образуют произведения сомножителей СКНФ, взятых по одному, по два и так далее.

Пример. Найти все следствия из посылок `XÚY и`XÙYÚX ÙY.

Образуем конъюнкцию посылок и найдем ее СКНФ.

(`X Ú`Y)Ù(`X Ù Y Ú X Ù`Y)º(`X Ú`Y)Ù(X Ú Y)Ù(`X Ú`Y)º


º(`X Ú`Y)Ù(X Ú Y) – СКНФ. Тогда следствиями являются `XÚY; X Ú Y; (`X Ú`Y)Ù(X Ú Y).

СКНФ позволяет решить и обратную задачу: для данной формулы найти все посылки, логическим следствием которых она является.

Алгоритм определения всех посылок, логическим следствием которых является данная формула

Шаг 1. Данную формулу привести к СКНФ.

Шаг 2. Составить ее произведения с каждым из недостающих до соответствующей полной СКНФ множителей – по одному, по два и так далее (под полной понимается СКНФ тождественно ложной формулы с теми же переменными).

Пример. Следствием каких посылок является импликация X®Y?

Для импликации X®Y СКНФ имеет вид Логическое следствие . Соответствующая полная СКНФ имеет вид

Логическое следствие .

Образуем всевозможные произведения с недостающими сомножителями:

(`X Ú Y)Ù(X Ú Y) º Y;

(`X Ú Y)Ù(X Ú`Y) º X«Y;

(`X Ú Y)Ù(`X Ú`Y) º`X;

(`X Ú Y)Ù( X Ú Y) Ù (X Ú`Y) º XY;

(`X Ú Y)Ù( X Ú Y) Ù(`X Ú Y) º XY;

(`X Ú Y) Ù (X Ú`Y) Ù(`X Ú`Y) º XY;

(`X Ú Y)Ù( X Ú Y) Ù(`X Ú Y) Ù(`X Ú`Y) º 0.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *